[미디어인천신문 김철한 기자] 1845년 오늘은 ‘집합론’을 창시했지만, 시대를 앞서 나간 혁명적인 연구 탓에 생전에는 수학자로 인정받지 못하고, 다른 수학자들의 비난으로 정신 질환을 앓다가 1918년 정신병원에서 쓸쓸하게 사망한 독일 수학자 게오르크 칸토어가 태어난 날이다.
그러나 그의 연구 덕분에 집합론은 수학의 한 분야로 확립되었고 20세기 수학이 발전할 수 있는 초석이 되었다.
▲그의 이론
칸토어는 무한에 대한 생각을 바탕으로 집합론의 기초를 세우는 데 매우 큰 역할을 했다.
그는 집합 사이의 일대일 대응의 중요성을 확립하고, 집합의 크기에 대한 연구로 무한 집합과 정렬 집합을 정의했다.
집합 사이의 일대일 대응의 개념을 통해 집합의 크기(Cardinality), 즉 원소의 개수를 정의하고, 이에 따라 무한 집합도 그 크기가 다를 수 있다는 것을 알게 됐다.
이후 대각선 논법을 통해 자연수와 짝수, 유리수는 그 개수가 같지만, 실수는 자연수보다 개수가 더 많음을 증명했다.
말년에 그는 연속체 가설을 증명하기 위해서 노력했으나 결국 실패했다. 이후 연속체 가설은 체르멜로-프렝켈 집합론 체계에서 반증과 증명이 불가능하여 독립적임이 각각 쿠르트 괴델과 폴 코언에 의해 증명되어 연속체 가설은 불완전성 정리에서 언급된 증명도 반증도 불가능한 최초의 명제가 되었다.
한편 칸토어의 정리는 집합과 멱집합 사이에 일대일 대응이 불가능하다는 것을 보여 "무한의 무한성"의 존재를 암시한다.
초한수에 관한 칸토어의 이론은 당대 유명한 수학자들의 거센 반대에 부딪혔으나, 현대의 대다수 수학자들은 그의 초한수에 대한 결과를 받아들이며 칸토어의 이론은 현대의 수학 기초론의 핵심을 이루고 있다.
▲집합론
집합론은 추상적 대상들의 모임인 집합을 연구하는 수학 이론이다.
ZF 집합론과 여기에 선택 공리를 첨가한 ZFC 집합론은 ‘표준 형식논리 집합론’을 뜻하며, 집단을 좀 더 효과적으로 대상화 한 NBG 집합론이 있다.
집합은 유한 집합과 무한 집합으로 나눌 수 있는데, 칸토르의 연구 이전에는 수학자들은 기호 ∞로 표시되는 한 가지 무한만을 받아들여, 이 기호로 자연수의 집합 N이나 실수의 집합 R과 같은 원소의 개수를 나타내는 데 무차별로 써 왔다.
그러나 훗날 집합론에 역리들이 나타나 소위 19세기 말의 ‘수학의 위기’를 낳았고, 이것을 해결하려는 과정에서 수리논리학, 공리적 집합론, 수학 기초론과 같은 새로운 수학 분야가 나타났다.
*출처: 다음 백과 / 온라인 커뮤니티
